Необычный многогранник В трёхмерном пространстве таких нет —эйлерова…

Необычный многогранник

  • В трёхмерном пространстве таких нет —эйлерова характеристика не позволяет (она не всегда, конечно, равна 2, но зато всегда чётная; она равна 2-2g, где g —число дырок) . А вот в четырёхмерном существует. Например, октаэдр (правильный трёхмерный) с отождествлёнными противоположными точками. Результат гомеоморфен проективной плоскости, так что эйлерова характеристика равна 1 и уже «не мешает». У него В=3, Р=6, Г=4.
  • Легко! Возьмем тетраэдр, и одну грань «утопим во внутрь нашего тетраэдра. У негобудет 6 граней 6ребер и 5 вершин. Все «гениальное» ПРОСТО.Ошибся с тетраэдром! Нет возьмем куб и утопим две противоположныеграни вовнутрь чтоб получилась одна вершинка.Теперь вершин будет 9, граней 12 а ребер20. Готово.
  • а если попробовать так:вроде противоречий с определением многогранника нет, хотя, кто его знает.лишнее убрала.
  • Как бы еще повыделыватьсяЧетырехугольная пирамида. Внутри нее вырезана 8-угольная. Все боковое четное Основание одно у четырехугольной и одно у осьмиугольной. Итого два. Вершина — одна на всех, значит нечетная.
  • Есть формула Эйлера, связывающая эти числа. Поэтому такого многогранника не существует.
  • Известно (теорема Эйлера о многогранниках) , что число ребер Р, число граней Г и число вершин В связаны соотношением В+Г-Р=2. Пусть выполняются условия задачи, тогда эти числа можно выразить через натуральные a, b, c:В = 2а-1Г = 2bР = 2сОтсюда эйлерова характеристика В+Г-Р=2(a+b+c)-1, т. е. (т. к. сумма трёх натуральных чисел — число натуральное) , эйлерова характеристика не кратна двум, а значит не может равняться 2, ч. т. д.

Предыдущий:

Следующий: