Примеры по Высшей Математике


Примеры по Высшей Математике.

  • Задач слишком много :( 1. Решено здесь: http://otvet.mail.ru/question/15793451/ ——————————————————————————— 2. а) u=ln sin(x-2y+z/4); M0(1;½π) ∂u/∂x = 1/sin(x-2y+z/4)*cos(x-2y+z/4)*1 = ctg(x-2y+z/4) ∂u/∂y = 1/sin(x-2y+z/4)*cos(x-2y+z/4)*(-2) = -2ctg(x-2y+z/4) ∂u/∂z = 1/sin(x-2y+z/4)*cos(x-2y+z/4)*(¼) = ¼ctg(x-2y+z/4) в т. M0 ctg(x-2y+z/4)=ctg(1-2*½+π/4)=ctg(π4)=1 ∂u/∂x = 1; ∂u/∂y = -2; ∂u/∂z = ¼. ————————————————————— 3. S: F(x,y,z)≡x²+y²-z²+xz+4y=4; M0(1;1;2) а) уравнение касательной: (x-x0)∂F/∂x + (y-y0)∂F/∂y + (z-z0)∂F/∂z = 0 (все частные производные берутся в т. M0) ∂F/∂x = 2x = 2*1 =2; ∂F/∂y = 2y+4 = 2*1+4 = 6; ∂F/∂z = -2z+x = -2*2+1 = -3. Искомое уравнение касательной: 2(x-1)+6(y-1)-3(z-4)=0, или 2x+6y-3z+4=0 б) Нормальная прямая: (x-x0)/(∂F/∂x) = (y-y0)/(∂F/∂x) = (x-z0)/(∂F/∂z), где все частные производные берутся в т. M0 Подставляем наши значения и получаем уравнение нормальной прямой: (x-1)/2 = (y-1)/6 = (z-2)/(-3) —————————————————————————— 4. z=cos(3x²-y³) ∂z/∂x = -sin(3x²-y³)*6x = -6x sin(3x²-y³) ∂z/∂y = -sin(3x²-y³)*(-3y²) =3y²sin(3x²-y³) z»xx = ∂/∂x(∂z/∂x) = ∂/∂x(-6x sin(3x²-y³)) = -6sin(3x²-y³) -6x*cos(3x²-y³)*6x; z»xx = -36x²cos(3x²-y³)-6sin(3x²-y³) z»xy = ∂∂y(∂z/∂x) = ∂∂y(-6x sin(3x²-y³)) = -6x*cos(3x²-y³)*(-3y²); z»xy=18xy²cos(3x²-y³) z»yx = ∂/∂x(∂z/∂y) = ∂/∂x(3y²sin(3x²-y³)) = 3y²cos(3x²-y³)*6x; z»yx = 18xy²cos(3x²-y³) (как видим, z»xy = z»yx) z»yy = ∂/∂y(∂z/∂y) = ∂/∂y(3y²sin(3x²-y³)) = 6ysin(3x²-y³) + 3y²cos(3x²-y³)*(-3y²); z»yy = 6ysin(3x²-y²) — 9y^4cos(3x²-y³) ————————————————————— 5. z=x²+3(y+2)² 1 способ (классический) Поскольку z представляет из себя сумму квадратов, то минимум z достигается, когда x=y+2=0, т. е. в точке (0;-2); значение z равно 0 Поскольку x и (y+2) не ограничены сверху, то максимума функция не имеет. 2 способ (с использованием частных производных) а) ищем стационарные точки (в которых частные производные z по x и y равны 0) ∂z/∂x = 2x; ∂z/∂y = 6(y+2) {2x=0; {6(y+2)=0 Единственная стационарная точка — (0;-2). б) Исследуем её характер. Найдём вторые производные в этой точке: z»xx = 2; 2z»xy=2z»yx=0; z»yy = 6 Поскольку z»xx*z»yy-(z»xy/2)²=12>0, то имеем точку локального (и глобального тоже, поскольку других экстремумов у функции нет) минимума. ОТВЕТ: (0;-2) — точка локального и глобального минимума (z=0); других экстремумов нет. ———————————————————- 6. Решение здесь: http://otvet.mail.ru/question/15793451/



Предыдущий:

Следующий: