Можно ли используя св-ва сложения доказать переместительное св-во умножения?


Можно ли используя св-ва сложения доказать переместительное св-во умножения?

  • Переместительное свойство умножения является аксиомой и не требует доказательства. === Позже прочитал данное StranikS доказательство. Вообще говоря, убедительно. Но рассмотрим его чуть подробнее. 1. Пусть A=B+S, где S принадлежит N и S<>=0, тогда B=A-S и S=A-B. По первому пункту претензий нет. Если на множестве определена операция сложения, то, как правило, всегда определена и ей обратная операция. 2. Подставим в выражение AxB формулы для А и B (B+S)x(A-S)=BxA+Sx(A-B-S)=BxA+Sx(S-S)=BxA ПО второму пункту уже есть вопросы. Действительно, раскроем последовательно скобки в выражении (B+S)x(A-S). Получаем: (B+S)x(A-S)=B*(A-S)+S*(A-S)=B*A-B*S+S*A-S*S=B*A+S*A-S*S-B*S=B*A+S*(A-S)-B*S. Для того, чтобы правую часть записанного равенства привести к виду BxA+Sx(A-B-S)=BxA+Sx(A-S-B)=BxA+Sx(A-S)-SxB, необходимо, чтобы выполнялось равенство B*S=S*B, однако элемент S принадлежит тому же множеству, что и элемент B, то есть автор доказательства предполагает, что доказываемое им свойство уже присуще элементам множества, к которому принадлежат A и B — в противном случае он не вправе записать (B+S)x(A-S)=BxA+Sx(A-B-S). Так что доказательство — с моей точки зрения — ошибочно. Кстати, пока я все это писал, появилась еще одна мысль. Вы спрашиваете, можно ли переместительное свойство умножения доказать, используя свойства сложения? Строго говоря, если речь идет об умножении, то любое преобразование произведения каким-либо образом использует свойства умножения, поэтому ответ на ваш вопрос — однозначное нет. Замечу кстати, что переместительное свойство умножения присуще достаточно узкой группе математических объектов.
  • :)))) Посмеялся, спасибо! Дело в том, что свойство коммутативности (то что вы называете переместительным свойством) определено только для данной операции. В данном случае умножения. Операция сложения вообще никак не связана. Конечно в школе припадают, что умножение на НАТУРАЛЬНОЕ число — это тоже самое, что и сложение такое кол-во раз. Но не путайте школьную математику и науку. Замечу для отвечающих на ваш вопрос. В ваших доказательствах, почему-то, вы уже используете не оговаривая такие свойства как существовании левой и правой еденицы и транзитивность. Ну хотя бы сказали об этом хоть слово. Тиграну скажу, что назвать это аксиомой наверно нельзя. Хотя с тем что это доказывать не надо — с этим полностью согласен! :))) А StranikSу спасибо за доставленное удовольствие. :)
  • Довольно просто. Запишем переместительный закон умножения: AxB=BxA Докажем, что AxB==BxA. 1. Пусть A=B+S, где S принадлежит N и S<>=0, тогда B=A-S и S=A-B. 2. Подставим в выражение AxB формулы для А и B (B+S)x(A-S)=BxA+Sx(A-B-S)=BxA+Sx(S-S)=BxA Вот мы и доказали. === Позже прочитал замечание Тиграна Бекназаряна и решил предложить такой вариант: 1. AxB==BxA, пусть можно представить B=1/S, где S принадлежит N и S<>0 2. Тогда Ax(1/S)==(1/S)xA или (Ax1)/S==(1xA)/S 3. Исходя из того что при умножении числа на 1 и 1 на число, мы получаем тоже самое число, то тогда A/S=A/S. И правило доказано. ЗЫ: Правда умножение числа на 1 и 1 на число это частный случай общего правила, но здесь замечание Тиграна помоемому уже не действует, хотя решать автору вопроса.



Предыдущий:

Следующий: