Задача 10 класса Меньше материала должно быть потрачено…


Задача 10 класса

  • Меньше материала должно быть потрачено —> меньшим должен быть периметр участка при такой площади.2х+2у=рх*у=1600Получили систему!у=1600/х2х^2 — pх +3200 = 0Как известно минимум (максимум) функции будет в точке когда незвестный параметр равен -b/2a, в нашем случае это равно p/4. Дискриминант D>=0… D= p^2 — 4*2*3200 >=0 —> (p- (19200)^0.5)(p+(19200)^0.5)>=0 —> p>(19200)^0.5p>-(1920200)^0.5следовательно p>(19200)^0.5 приблизительно >138илиp< (19200)^0.5p<-(1920200)^0.5следовательно p<-(19200)^0.5 приблизительно <-138 -в нашей задаче не подойдет!Подставляем в уравнение -->2р^2/16 — p*p/4 +3200 = 0p^2/8 — p^2/4 + 3200 = 03200 = p^2/8Откуда p = +-160, мы принимаем 160, т.к. в нашей задаче р положительно и больше 138 — все подходит!Подставляем в уравнение:2x^2 — 160x +3200 = 0D= 160^2 — 4*2*3200 = 0Следовательно корень уравнения в точке -b/2a —> 160/4 = 40Подставляем в уравнение x*y=1600 —> y=1600/x =1600/40=40По-моему в 10 классе обычной школы производные не проходят… ;)
  • система:2а+2в =ха*в =1600и при любой точноти я брала 0,01, периметр будет минимальным при равных сторонах 40х40
  • Ну, очевидно, что прямоугольник должен быть квадратом. Теперь докажем это. Пусть x и y — стороны прямоугольника,S = x * y — его площадь (задана)П = 2 * ( х + у ) — периметр прямоугольника.Ясно, что наименьшее количество материала ограждения будет израсходовано для наименьшего периметра. Вот и давайте минимизируем периметр. Из уравнения для площади выразим:у = S / x, и подставим в выражение для периметра:П ( х ) = 2 * ( х + S / x ). Вот функция, минимум которой нужно отыскать.Берём производную по х и приравниваем нулю:dП/dx = 2 * ( 1 — S / ( x^2 ) ) = 0 ( x^2 — это «икс в квадрате»)легко находим х = sqrt( S ), т. е. корень квадратный из S.Ясно, что у = х = sqrt( S ) = 40 мВот и всё.
  • p = 2*(a+b) //периметрS=a*b => b = S/a => p = 2*(a + S/a)производная по функции периметра: 2*(1 — S/(a*a)) = 0 => S = a*a => a = sqrt(S) = 40 м



Следующий: