Солитонное движение маятника и вытекание жидкости из пены

Цели:

  • изучение закономерностей вращательного
    движения на модели кругового маятника;
  • применение найденных закономерностей к
    исследованию вытекания жидкости из пен.

Задачи исследования:

  • Образовательные:
    • изучить вращение маятника и описать его
      математически;
    • получить на основе этого закономерности
      истечения жидкости из пен.
  • Воспитательные:
    • подчеркнуть взаимосвязь физической модели и ее
      математическим описанием как проявления одного
      из признаков метода познания явлений;
    • продолжить работу по развитию
      самостоятельности, аккуратности и внимания
      учащихся.
  • Развивающие:
    • продолжить работу по развитию внимания и умения
      творчески мыслить;
    • развивать умение находить общую природу между
      различными явлениями;
    • разработать физические модели для описания
      реальных явлений;
    • развивать умение работать в творческом
      коллективе;
    • применять возможности ИКТ для модельного
      изучения явлений в физике;
    • прививать навыки решения задач.

В настоящее время ИКТ в преподавании физики в
школе занимают все более и более значимое место.
Это лаборатория L-микро, виртуальные
лабораторные работы, которые с интересом
выполняют учащиеся, демонстрационные
эксперименты, физические модели (Физикон). Так,
компьютерное моделирование может стать
инструментом при изучении школьной физики.
Современные физические модели создаются большой
группой профессионалов. Это программисты и
специалисты, которые пишут сценарии. Но и учителя
физики тоже не должны оставаться в стороны, им
также необходимо (совместно со своими учениками)
разрабатывать физические модели. Конечно, трудно
конкурировать с профессионалами, но это очень
интересное дело, тем более, что результаты можно
использовать на уроках. Физические модели,
прежде всего наглядные, позволяют давать
графическую информацию, носят интерактивный
характер (здесь сразу же просматривается
межпредметная связь с информатикой и ИКТ).
Ученики, изучая программирование на языках Visual
basic или Delphi, могут активно принимать участие в
разработке моделей. Интерактивная программа
компьютерной физической модели позволяет
учащемуся исследовать явление, представленному
в той или иной физической модели. В качестве
примера рассмотрим физическую модель вращения
кругового маятника. Рассмотрим математический
маятник в виде материальной точки, закрепленной
на конце жесткого невесомого стержня, способного
вращаться вокруг другого конца без трения. Эта
модель рассматривается в работе [1]. Такой маятник
имеет два положения равновесия: устойчивое в
нижнем положении и неустойчивое в верхнем. Сила
тяжести при малейшем отклонении маятника от
верхнего положения, смещает его все далее и далее
из вертикального положения (рис.1).

Рис. 1

Как следует из работы [1], в отсутствии трения
полная энергия маятника равна (1)

Уравнение (1) связывает угол отклонения и угловую скорость . Величина называется моментом
инерции материальной точки относительно точки 0,
где a – радиус вращения. За
нулевой уровень потенциальной энергии принято
нижнее устойчивое положение маятника. Выражение – кинетическая
энергия вращательного движения. Известно, что
для маятника, совершающего колебания около
нижнего положения равновесия, квадрат
собственной частоты равен .
(2)

Введем величину кинетической энергии , которой обладает
вращающееся тело с частотой определяемой выражением (2).
Введение Eo позволит
записать уравнение (1) в безразмерном виде .
(3)

Если E > 2mga ( E/Eo
> 4
), то маятник совершает полные обороты,
вращаясь в определенном направлении. При
прохождении нижнего устойчивого равновесия
скорость маятника максимальная, а при
прохождении через верхнюю точку неустойчивого
равновесия скорость минимальна. В случае E/Eo
< 4
имеем нелинейное колебательное
движение (углы отклонения от положения
равновесия велики). Особый интерес представляет
движение маятника при E = 4Eo

При этом полная энергия маятника равна
потенциальной энергии в верхнем положении E
> 2mgal Этот вид движения автор
работы [1] назвал лимитационным, так как он
разделяет два типа движений маятника:
колебательное и вращательное. Уравнение кривой
(ее называют сепаратрисой), разделяющей эти два
вида движения имеет вид [1]

. (4)

Решение этого дифференциального уравнения
выходит за рамки школьной программы, поэтому
просто приведем его (ученики 11 класса уже знают
производные):

(5)

Это решение описывает движение кругового
маятника против часовой стрелки из положения при . При t = 0 грузик
маятника проходит нижнее положение равновесия,
асимптотически приближаясь с бесконечно малой
скоростью к неустойчивому положению . На рис. 2 показан график
этого движения. Зависимость угловой скорости от
времени имеет
вид:

.
(6)

Рис. 2

Следуя работе [1], при угловая скорость (6) спадает
экспоненциально, так как , что дает

(6a)

График зависимости угловой скорости показан на
рис.3.

Рис. 3

С другой стороны в работе [2] такой вид движения
маятника назван «солитонным». Почему получились
эти различия в названиях и как правильно назвать
этот интересный вид движения? В математической
физике теории солитонов уделено много внимания,
хотя бы потому, что они (солитоны) описывают много
физических явлений в различных разделах физики.
В то же время в школьной физике о них ничего
неизвестно, разве что читателям книги [2]. В работе
[3] обосновано, что движение вдоль сепаратрис
соответствуют солитонам. Поэтому решения (5)
график рис. 3 соответствуют солитонному решению
уравнения под названием Sin-Гордона и получили
название кинков (kink – перегиб). Солитоны ведут
себя подобно частицам (окончание « -он»
подчеркивает принадлежность к частице).

Рис. 4

На рис. 4 в качестве примера приведено
столкновение двух кинков. Приведем некоторые
физические примеры. Это, например, динамика
дислокаций в кристаллах. Дислокация получается
так: если удалить половину кристаллографической
плоскости, то возникнет дефект под названием
дислокация. При пластической деформации
(удлинение тела растет, а внешняя нагрузка не
изменяется) происходит перемещение дислокации.
Простейшую модель дислокации предложили в 1930
году Я.И.Френкель и Т.А.Конторова и форма этой
дислокации описывалась уравнением (5). Динамика
границ доменов в ферромагнетиках также
описывается уравнением Sin-Гордоном, т.е.
солитонами. Много можно привести примеров на эту
тему. И автор данной работы вместе с учениками на
кружке по физике тоже нашли интересное
применение солитонов при описании явления
вытекания жидкости из пенного столба. Нами
использовалась методика «подвешенного столба»:
наполненный пеной цилиндр переворачивался вверх
дном, устанавливаясь вертикально, и объем
вытекающей жидкости с нижней свободной
поверхности, регистрировали по времени [4].

Рис. 5

На рис. 5 показана схема устройства для
исследования вытекания жидкости из
«подвешенного пенного столба». Следуя работе
[4], рассмотрим единичный объем пены с
плотностью , где К
– структурный параметр пены, кратность (равна
отношению объема пены к объему жидкости, из
которой она получена)). Эта плотность со временем
меняется по закону

,
(7)

где Vo – плотность пены в
момент времени t = 0.

В формуле (7) –
постоянная разрушения пены, R – средний
размер пенной ячейки в момент t, Ro
начальный размер ячейки. При разрушении пены вся
освобождающаяся жидкость вытекает.
Продифференцируем (7)

(8)

Заметим, что (8) и есть та самая экспоненциальная
зависимость (6а), о которой говорилось выше, а это
значит, что вытекание жидкости можно описать
зависимостью (5) и (6). Действительно,
продифференцируем (8) еще раз:

(9)

Введем новую функцию , тогда (9) примет вид (10)

Для пен кратностью К >>100 , тогда и уравнение (10) перепишется в виде:

(11)

Интегрируя (11), получим при t = 0 V = 1 (вся
жидкость в пене), получим С = 0.
Окончательно выражение для количества
вытекающей жидкости в относительных величинах
примет вид:

.
(11)

В эксперименте высота столба примерно
составляла 20-30 см.

На рис. 6 приведены теоретическая зависимость
(сплошная линия) и экспериментальные точки.
Видим, что экспериментальные точки хорошо
совпадают с теоретическим графиком (в
соответствии с формулой (11)).

Рис. 6

Ввиду того, что солитоны очень интересные
объекты, нами была создана
программа солитонного движения кругового
маятника на интерактивном языке
программирования Visual Basic, который изучается в
школе на уроках информатики *). На рис. 7 приведен
интерфейс этой физической модели.

Рис. 7

В этой модели, вводя радиус окружности и
частоту вращения, можно наблюдать, как
происходит движение маятников (их в модели три), а
также их траектории по сепаратрисе и собственно
сами солитоны. Эта физическая модель позволит
учащимся наглядно представить движение
кругового маятника в предельном случае –
движение по сепаратрисе.

*) В данной работе принимали участие ученики 11
класса Волков А., Василенко Р., Котов Д.

Выводы:

  1. Создана интерактивная модель солитонного
    движения маятника.
  2. С помощью этой модели получены оригинальные
    данные вытекания жидкости из пен.

Литература:

  1. Бутиков Е.И. Роль моделирования в обучении
    физике. Компьютерные инструменты в образовании.
    №5, 2002. С. 1 – 20.
  2. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.:
    «Наука», 1990. С. 286.
  3. Трубецков Д.И., Рожнев А.Г. Линейные
    колебания и волны. М.: Физматлит, 2001.
  4. Канн К.Б. Капиллярная гидродинамика пен.
    Новосибирск. «Наука». Сибирское отделение. 1989.

Следующий: