Решение геометрических задач как средство развития самостоятельности мышления учащихся


«Для того чтобы уметь связывать
теорию с практикой, с повседневной
и всесторонней работой на общую
пользу, для этого надо много и
самостоятельно учиться»

Н.К. Крупская

Под самостоятельной учебной работой обычно
понимают любую организованную учителем активную
деятельность учащихся, направленную на
выполнение поставленной дидактической цели в
специально отведенное для того время: поиск
знаний, их осмысление, закрепление, формирование
и развитие знаний и навыков, обобщение и
систематизацию знаний.

Формы организации самостоятельных работ:

  • индивидуальные,
  • фронтальные,
  • групповые.

Типы самостоятельных работ (в соответствии
с уровнями самостоятельной деятельности):

  • воспроизводящие,
  • реконструктивно-вариативные,
  • эвристические,
  • творческие.

Основные виды самостоятельных работ:

  • работа с книгой;
  • упражнения;
  • выполнение практических и лабораторных работ;
  • проверочные самостоятельные, контрольные
    работы, диктанты, сочинения;
  • подготовка докладов, рефератов,
    научно-исследовательских работ;
  • домашние опыты, наблюдения;
  • техническое моделирование и конструирование.

Для тех, кто умеет решать задачи, обучение
решению задач представляется очень простым
делом, не требующим разработки специальной
методики. Чтобы научиться решать задачи, надо их
решать. Стоит “попотеть” над решением
пяти-шести задач, прежде чем они начинают
получаться, решаться. Такой подход требует много
времени, и кроме того, он может быть использован
только для тех учащихся, которые, во-первых, хотят
научиться решать задачи и готовы затратить на
это и время и силы, а во-вторых, умеют приняться
за дело.

Когда говорим, о необходимости и возможности
научить всех учащихся самостоятельно решать
задачи, понимая под этим отыскание способа
решения, то первая трудность состоит в том, чтобы
найти отличные школьные задачи, обладающие
несовместимыми свойствами: нужно, чтобы ученик
мог ее решить, не зная, как ее надо решать, а
учитель мог бы научить ее решать, не показывая,
как решать. Чтобы задачу можно было бы
использовать для развития мышления учащихся,
она, не сводясь к алгоритму, должна быть
построена (в отличие от нестандартной задачи) на
некотором общем приеме мышления, который можно
описать, объяснить учащимся. Особенно ценными
являются задачи, на которых можно научить
учащихся искать способ решения. Такими являются
задачи на доказательство, решаемые в курсе
геометрии, особенно в первой половине курса
планиметрии.

Ценность геометрических задач на
доказательство связана с тем, что на каждом этапе
(1 этап — переформулировка условия; 2 этап -
отыскание способа решения; 3 этап — выражение
условия в словах (устно или письменно)) можно
организовать деятельность учащегося, приводящую
к отысканию пути решения.

Чтобы “понять условие” задачи можно дать
учащимся конкретное указание о том, что надо
делать, а именно: “Сделайте чертеж”. Это
указание должно выводить учащихся на некоторый
почти алгоритмический “кусок решения”. Для
самостоятельного решения нужно отбирать задачи,
чертеж к которым основан на незнакомой учащимся
фигуре. Например, фигуры, изучаемые в курсе 7
класса, — это пересекающиеся или параллельные
прямые и отрезки, углы, треугольники (медиана,
биссектриса, высота), окружность с диаметром,
радиусом, хордами и касательной и др. Важным
является умение строить чертежи этих фигур, оно
должно быть отработано до навыка.

В начале обучения для самостоятельного решения
целесообразно давать условие с буквенными
обозначениями, а в дальнейшем учащиеся должны
будут сами вводить эти обозначения.

Указание “Сделай чертеж” должно развернуться
в такую схему: выделить основную фигуру,
начертить ее, введя обозначения, и нанести
дополнительные элементы. В геометрических
задачах можно на понятном для учащихся языке
дать конкретное указание о том, что надо сделать
для переформулировки условия, чтобы в нем легко
было разобраться.

Поэтому уже простое выполнение чертежа делает
возможным распознавание целого ряда понятий, не
указанных в условии, а именно понятий, связанных
с отношениями принадлежности и порядка. В
школьной практике эти отношения при решении
задач распознаются, так сказать “по образу”.
Например, начертив два отрезка АВ и СД,
пересекающиеся в точке О, учащийся сразу
называет углы АОС и ВОС вертикальными.

Работа над условием происходит по схеме:

- сделай чертеж;

- отметь на нем равные элементы;

- запиши, что надо доказать.



Такое первичное “раскрытие” условия и
представление его на чертеже иногда оказывается
достаточным для отыскания решения.

Например, в задаче: “В равнобедренном
треугольнике АВС с основанием АС на биссектрисе
ВД лежит точка К. Доказать, что ” чертеж
уже дает все необходимые данные для отыскания
решения.


При отыскании пути решения одним из
наиболее простых актов мышления, который
встречается на всех уровнях — от жестко
программированного до творческого,
сопровождающиеся “озарением”, — это перебор в
той или иной форме, а вернее, в той или иной
степени организованный. При развитом умении
решать задачу этот перебор происходит почти
мгновенно, поэтому результат выдается быстро.
Прежде всего надо, чтобы было из чего выбирать. В
данной выше задаче надо выбрать из трех
возможных признаков равенства треугольников
подходящий.

Общий случай задачи на доказательство сложнее:
составляющие достаточного признака заключения
могут не быть среди данных условия, а являться
следствием из них.

Изменим условие задачи: пусть требуется
доказать равенство треугольников АКВ и СКД.
Здесь исходных данных недостаточно для
перекидывания мостика от условия к заключению.
Они появятся только если использовать не только
определяющие, а и другие свойства понятий,
участвующих в задаче. В данном случае ученик
должен вспомнить, что в равнобедренном
треугольнике биссектриса является и высотой, и
медианой. “Раскрыв” эти два термина, он и
получит нужные данные.

Вот в этот момент очень важно удержаться от
соблазна подсказать учащимся. Надо направить его
мысль по нужному пути, дать такое указание,
которое не лишало бы ученика возможности найти
нужное звено самостоятельно. Таким указанием
может быть следующее: “Отметить на чертеже все
известные тебе свойства данных фигур”.

Не беда, что такое полное раскрытие условия
оказывается в большинстве случаев излишним и не
все сведения будут использованы при решении.
Рекомендовать учащимся отразить на чертеже все
известные ему свойства фигуры целесообразно для
того, чтобы у ученика возникла проблема выбора. В
этом случае он не будет лишен возможности
самостоятельно найти переход от условия к
заключению. Для этого ученик, “выжав” все, что
можно из условия, должен обратиться к заключению
и вспомнить все посылки, из которых его можно
сделать. Для более сложных задач такого
однократного раскрытия условия недостаточно
(например, нужно дополнительное построение или
предварительное доказательство неизвестного
ученикам факта).

Отсюда следует вывод: для самостоятельного
решения следует отбирать задачи, после полного
раскрытия условия которых, можно было бы
замкнуть цепочку рассуждений, т.е. из известных
учащимся свойств понятий, фигурирующих в задаче,
образовать (скомбинировать) известный
достаточный признак заключение.

В курсе планиметрии основным способом,
помогающим организовывать материал, усвоить всю
совокупность свойств фигуры, является создание
некоторого образа, связываемого с понятием.
Созданию такого образа помогает многократное
выполнение одного и того же чертежа, на котором
все свойства видны. Этому способствуют и такие
методические приемы, как обзор всех свойств,
проводимый учителем, или опрос не по отдельным
свойствам или теоремам, а по всей совокупности
свойств фигуры: “Что ты знаешь о равнобедренном
треугольнике?”, “Перечисли все свойства
параллелограмма” и т.д.

В основе умения отыскать путь решения задачи
лежат не просто знания, а хорошо организованные,
системные знания, при которых усвоены не только
отдельные факты, но и связи между ними.

Обучение учащихся самостоятельному решению
задач требует определенной методики изучения
теоретического материала курса, основанной на
системном усвоении понятий: каждое
математическое понятие есть некоторая система
свойств и отношений, обладающая всеми признаками
системы (целостностью, структурностью и др.). в
этом выражается неразрывность двух сторон
обучения: усвоение теоретического материала
необходимо для успешного решения задач так же,
как и решение задач необходимо для сознательного
усвоения теорем.

ЛИТЕРАТУРА:

1.Г.Н.Яковлева Геометрия: теория ее
использования для решения задач.

2. “Математика в школе”, 1985 г.

3. С.И. Демидова. Самостоятельная деятельность
учащихся при обучении математики (формирование
умений самостоятельной работы).

4. Е.Смирнова, И.Шарыгин Геометрия — витамин для
мозга. 7-9 классы; приложение “Первое сентября”,
№10, 2004 г.




Следующий: