Формирование понятийного аппарата при работе с учебными задачами в курсе изучения математики

«Знание некоторых принципов возмещает незнание некоторых фактов».
К.Гельвецкий

В основе работы лежат:

  • теоретические идеи Даниила Борисовича Эльконина [2], [7], Льва Семеновича Выготского о психологических способах решения мыслительных задач в процессе речевого общения; Петра Яковлевича Гальперина о планомерно-поэтапном формировании умственной деятельности человека; Василия Васильевича Давыдова о роли обобщения в обучении и алгоритмического подхода в решении учебных задач;
  • практический опыт педагогов Виктора Федоровича Шаталова [14] об обусловленности взаимосвязей всех частей образовательной модели и логики учебно-воспитательного процесса с использованием такого понятия как мнемоника, которая призвана помочь ученической памяти и пониманию, одним из главных инструментов которой является опора (зрительная, звуковая, смысловая), Софьи Николаевны Лысенковой об использовании опорных схем при комментированном управлении, Александра Борисовича Воронцова и Сергея Федоровича Горбова о поэтапном формировании понятийного аппарата;
  • работы Окунева Анатолия Арсеньевича, Пуанкаре Анри, в которых рассматривается значение эмоционального начала в математическом познании; Эмануила Гельфмана [5] по интеллектуальному воспитанию учащихся средствами математики.

Цель работы — развивать такие качества ума каждого ребенка, как:

  • дерзость ума – способность доходить до всего самому;
  • желание исследовать – способность получать удовольствие от знаний, которыми уже овладел и всегда стремиться к новым знаниям;
  • интерес к закономерностям – способность наблюдать, обладать особым «чувством ритма» и склонностью разбираться в причинах появления тех или иных закономерностей;
  • склонность к обобщениям – способность искать то, что верно по отношению к широкому классу условий;
  • чувство простоты – способность отбросить все лишнее и обратить внимание на действительно важные факты;
  • поиск унификаций – способность ориентироваться на сокращение определенного объема информации.

Задачи:

  • создание условий для овладения системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучении смежных дисциплин, продолжении образовании;
  • создание условий для развития навыков анализа и синтеза, умений видеть логические связи;
  • формирование умений моделировать и конструировать понятия, отношения;
  • формирование умений выбирать и использовать выразительные средства языка и знаковых систем (текстов, таблиц, схем, чертежей) в соответствии с коммуникативной задачей, сферой и ситуацией общения;
  • формирование умений составлять и использовать различные источники информации для решения познавательных и коммуникативных задач.

Понятие – это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира. Сформировать понятие об объекте – значит, раскрыть все существенные свойства объекта в их целостной совокупности. Деятельность ученика при этом направлена на изучение математического объекта, а продуктом этой деятельности будет правильное понятие и фиксирование данного понятия средствами языка или знаковых систем для усвоения знаний.

Знание на понятийном уровне – это всегда знание некоторой совокупности признаков объекта. Понятийное знание отличается от уровня представлений тем, что в последнем признаки объекта присутствуют, во-первых, в чрезвычайно ограниченном объеме, во-вторых, слитно и недифференцированно, в-третьих, отсутствует осознание связей между ними.

Еще одной стороной понятийного мышления является его системный характер: усвоение каждого отдельного понятия определяется характером его взаимосвязей с другими понятиями.

Работу с понятиями и их отношениями предлагаю строить по следующем плану [2]:

І этап. Построение понятия через известные ранее понятия.
ІІ этап. Формирование определения понятия.
ІІІ этап. Моделирование отношений между понятиями.

Рассмотрим работу по этапам.

І этап. Построение понятий через известные ранее понятия

(Например, в шестом классе вводится понятие целого числа, используя понятия натурального числа, понятие противоположности чисел. Целые числа – это натуральные числа, числа им противоположные и ноль).

1. Первым шагом построения понятия используется такой методический прием как создание «ситуации успеха». В работе задействованы такие формы опроса как «Базовый лист опроса», письменная дискуссия, фронтальный опрос с сигналами, опрос по цепочке, самостоятельная работа с программируемыми ответами – тесты, взаимоопрос, магнитофонный опрос, иногда применяю такой метод как идеальный опрос (т.е. дается задание оценить свои знания и сообщить оценку учителю). Упражнения не носят проблемный характер. Результат данного этапа — положительная оценка учащимися своих знаний. (В качестве примера предлагаю Вам вид «Базового листа опроса» по теме математики 10 класса «Показательная функция» и варианты ответов к письменной дискуссии).

2. Второй шаг – «ситуация интеллектуального конфликта» и фиксация «разрыва» в графико-знаковой форме. На данном шаге используется парная и групповая формы работы, т.к. эта форма работы позволяет осуществлять коммуникативно-деятельностный подход в обучении. Результат – в рамках изменившихся условий вычленение и оформление в знаке и слове незнаний учащихся.(При введении понятия квадратичной функции для возникновения данной ситуации предлагаю задание построить график квадратичной функции. Проблема возникает на шаге построения графика нового вида функции. При введении в 6-м классе понятия отрицательного числа предлагаю решить уравнение типа: х+89=60. Проблема в том, что натурального ряда чисел для решения уже не хватает.)

3. Третий шаг – моделирование нового понятия. На данном этапе эффективны следующие методы: учебная дискуссия, иллюстрирование, создание опоры, максимально используются наглядные средства. (Построение понятия степени числа а в курсе изучения алгебры 7-го класса.)

ІІ этап. Формирование определения понятия

1. Эксперимент, проведенный на родительском собрании показал, что дать определение простому, общеизвестному понятию часто весьма затруднительно.

Например, дать определение понятию «стул» (формулировки предложенных определений: стул – это то, на чем сидим; предмет мебели). Почему же так трудно дать определение понятия? Да потому, что надо знать, что определить понятие – это значит выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимо, а все вместе достаточны для отличия этого понятия от других.

На данном этапе начинают работать поисковые и исследовательские методы, которые могут быть реализованы через такие задания, как построение логических цепочек (многоугольник – четырехугольник – параллелограмм – прямоугольник), создание мини-сочинений (составьте рассказ на тему «Мое знакомство с функцией», составьте рекламу признакам равенства треугольников), задания на соотнесение разных признаков одного и того же понятия, выделение среди них как существенных так и несущественных, выбор необходимых и достаточных условий из списка предложенных в словесной или знаковой форме с последующей фиксацией определенного признака (перечисление  признаков и определение параллельных прямых в пространстве). При этом важно использовать разные способы кодирования информации, чтобы привлечь разных учащихся к анализу исходного математического объекта (формула а²-b²=(a+b)(a-b) может записаться в виде ☻²-☺²=(☻+☺)(☻-☺) либо в виде словесной модели –разность квадратов двух чисел равна произведению суммы и разности этих чисел). В целях развития у учащихся умения выявлять признаки понятий я использую не только прямые, но и обратные задания: по заданным свойствам отыскать сам объект (по графику восстановите свойства функции).

Для закрепления признаков понятия и их успешного применения включаю задания, где признаки даны в иной формулировке или учащимся предлагается их сформулировать их иначе (при введении в шестом классе понятия решение уравнения могут даваться несколько определений: решение – корень уравнения либо решение – это число, которое при подстановке в начальное уравнение обращает его в верное равенство). Полезно, чтобы все полученные результаты обсуждались на уроке. Для этого используются формы работы – обсуждение в группах, дискуссия, эвристическая беседа.

2. Зачастую большая проблема стоит как в формировании определения понятия, так и в способе записи полученного определения, а так же в поиске оптимального пути запоминания данного определения. Результатом такой работы является создание справочников, удобных для использования самими учащимися. Данная работа ведется в нескольких направлениях:

a) Создание тезауруса для индивидуального пользования по геометрии, т.е. словаря языка, ставящего задачу полного отражения его лексики.

b) Создание справочника по алгебре для индивидуального пользования, где отражены все основные понятия, определения понятий  и их отношения в виде формул и правил, начиная с пятого класса, но включающие в себя материал начальной школы.

c) Создание справочника терминов по геометрии для общего пользования.

d) Создание справочника теорем по геометрии для общего пользования.

e) Создание базы решенных задач по алгебре и отдельно по геометрии.

Благодаря тому, что информацию можно записывать с помощью знаков, символов, формул, специальных знаков, справочники не имеют большого объема.

ІІІ этап. Моделирование отношений между понятиями

Обогащение понятийного опыта предполагает работу по осознанию учащимися связи между понятиями. Установление разнообразных связей данного понятия с другими понятиями расширяет интеллектуальные возможности учащихся и ресурс управления познавательной деятельностью при изучении новых понятий, решении задач, создании устойчивых представлений об изучаемом математическом материале.

На данном этапе используются задания на установление родо-видовых связей между понятиями, связей-сопоставлений, межпредметных связей, что создает условия для систематизации знаний (так, изучение каждой функции в курсе основной школы тесно связывается с изучением соответствующих физических зависимостей). Здесь же начинают работать технология проектов (в курсе изучения формулы квадрата суммы в курсе алгебры 7-го класса можно дать задание такого типа – перейдите от геометрической интерпретации равенства к его алгебраической записи или вычислите устно 102²). Все эти задания предполагают как самостоятельную работу учащихся, так и их фронтальное обсуждение в классе.

На данном этапе очень часто использую метод опорных конспектов (опорный конспект – это логическая схема изложения учебного материала, выполненная в виде формул, кратких выводов, поясняющих рисунков, опорных слов и т.д.) Опорный конспект раскрывает закон, явление, научный факт всегда по одному и тому же для каждого элемента знания плану. При построении ОК придерживаюсь следующих принципов:

1) отражение главных ключевых моментов;
2) наглядность и яркость изложения;
3) отсутствие сокращений, непонятных для учеников;
4) введение слов – ярких образов, которые помогут запомнить материал (введение понятия рациональных чисел в курсе математики 6-го класса описывается в опорном конспекте с ярким образом – словом «матрешка» или «снежный ком», а для различия понятий теорема-свойство и теорема-признак используем схемы дано: фигура, доказать: свойство элементов и дано: свойство элементов, определить: вид фигуры).

Использование ОК в учебном процессе позволяет ученику глубже разобраться в изучаемом материале, легче его запомнить, приводит в систему полученные знания. Учителю же ОК помогает сконцентрировать внимание на отдельных, наиболее трудных местах изучаемого материала, быстро проверить, как ученики поняли и запомнили материал.

Результативность

Диагностика работы в данном направлении с помощью таких методов, как опрос, наблюдение, зачеты по теоретической части, контрольные работы, позволяет сделать выводы о:

  • повышении системности мышления и выработка стереотипа систематизации материала благодаря освоению переработки информации непосредственно в процессе первичного восприятия (наблюдение на уроке позволяет увидеть экономию время для работы с отношениями между понятиями);
  • поддержании механизмов памяти и улучшении оперативного контроля информации благодаря наглядности представления знаний в свернутой форме (повышается познавательная активность учащихся);
  • улучшении работы интуитивного мышления и усилении эвристических способностей;
  • упрощении подготовки к уроку, обеспечении алгоритмизации учебно-познавательной деятельности учащихся (анкетирование показало, что снизилось время на подготовку домашних заданий);
  • развитии познавательной активности школьников и навыков самостоятельной работы.

Данная работа проводится не только во время уроков, но и во внеурочной предметной деятельности.

В качестве примера работы по формированию понятийного аппарата можно рассмотреть предмет геометрию. Рассмотрим создание системы понятий по теме «Геометрия. Геометрическое пространство». Данное занятие направлено на развитие теоретического мышления. Цели данного занятия – развитие пространственного воображения, формирование умений проводить индуктивные и дедуктивные рассуждения, способствовать развитию познавательного интереса.

Ход работы

(Приложение)

І этап. Построение понятий через известные ранее понятия

1. Первый шаг – «ситуация успеха»

Я предлагаю Вам заполнить таблицу — геометрия, разбившись на две группы (математики и нематематики). Т.е., попытайтесь дать ответы на вопросы.

Вопросы:

Кто знает, как переводится слово геометрия?
Как Вы думаете, откуда родом геометрия?
Как Вы думаете, что изучает геометрия? (Изучает тела, формы, пространство.)

Те, кому из Вас необходимо вспомнить курс геометрии, я предлагаю в качестве помощника страницы из замечательной книги Свечникова «Как люди учились считать».

Кто готов дать ответ? Правильно, геометрия зародилась на берегах Нила и возникла из необходимости измерять. Поэтому, геометрия – это прикладная наука, т.е.наука, возникшая из наблюдений и практической деятельности человека.

(На слайдах «гео» — земля, «метрос» — мерить и изображения из книги Свечникова.)

Посмотрите, как много Вы знаете, хотя некоторые из Вас геометрию изучали только в школе.

2. Второй шаг – «ситуация интеллектуального конфликта» и фиксация  «разрыва» в графико-знаковой форме

Но, то определение, которое мы дали понятию геометрия не совсем точно с точки зрения научности. Попробуем дать четкое определение? Также как самое большое здание складывается из маленьких кирпичей, так и сложные геометрические фигуры составляются из простейших геометрических фигур. Ну, например, цилиндр состоит из некоторого количества окружностей, а параллелепипед – прямоугольников.

Скажите, пожалуйста, сколько измерений имеет каждый объект вокруг нас? Изобразите любой из окружающих нас предмет, а затем запишите, сколько измерений можно указать в ваших предметах.

(Получается, что каждое тело имеет три измерения, т.е. мы живем в трехмерном пространстве.)

3. Третий шаг – моделирование нового понятия

Но мы с Вами будем строить понятие геометрического пространства, а параллельно с этой работой построим понятие размерности пространства. Нашу работу будем выполнять, используя метод от противного.

Итак, сейчас мы живем в трехмерном пространстве, где есть три измерения — длина, ширина, высота. Назовите тела, известные Вам. Давайте проверим, действительно ли в этом теле присутствуют три измерения?

Если представить, что высота исчезла. В какое пространство мы с Вами попадем? Правильно, в двухмерное. Т.е. мы попали с Вами в двухмерное пространство. Какие фигуры «живут» в двухмерном пространстве?

А если теперь исчезла и ширина, в каком мы пространстве мы окажемся? Совершенно верно, в одномерном. В одномерном пространстве живут простейшие геометрические фигуры, такие как отрезок, луч, прямая.

Ну а теперь, у нас исчезла и длина. Как назовем пространство, в котором очутились? Нуль — мерное. Какая же из геометрических фигур является прародителе всех фигур? Правильно, точка.

Построим схему, описывающую появление нашего пространства?

(Нуль – мерное + длина = одномерное + ширина = двумерное + высота = трехмерное.)

Давайте внесем нашу схему на листы ответа. Будем изображать одним цветом.

ІІ этап. Формирование определения понятия

Итак, схему построения геометрического пространства мы с вами получили, но до сих пор не дали определение геометрическому пространству.

1. Составьте из предложенных вам слов определение пространства, используя необходимое и достаточное число признаков. А теперь постройте определение самой геометрии.

2. Но большая проблема, как вы поняли, стоит как в формировании определения понятия, так и в способе записи полученного определения, а также в поиске оптимального пути запоминания данного определения. Давайте подумаем, в какой форме нам лучше записать определение для того, что бы его легче было запоминать. Мне кажется, что лучше всего запоминаются определения, если их разбить в схему.

Как Вам схема:

Пространство=множество объектов+отношения.

Геометрия=пространство+формы.

ІІІ этап. Моделирование отношений между понятиями

Так, какая же наука называется геометрией? (Геометрия – наука о пространственных формах.)

Посмотрим, как данная схема работает в различных областях знаний.

Попробуйте наложить на нашу схему следующие понятия: буква + орфографические правила, слово + синтаксические правила предложение + лексические правила, текст, а также наложим схему на понятия биологии.

Получается, что схема, работающая для построения понятия геометрического пространства, работает и других науках. Это еще раз доказывает универсальность методов математики. Кстати, по некоторым теориям, мы живем с Вами в четырехмерном пространстве, где помимо длины, ширины, высоты существует четвертое измерение – информация или время.

Спасибо за внимание.

Литература

  1. Беспалько В.Г. Слагаемые педагогической технологии. – М.: Педагогика, 1989.
  2. Воронцов А.Б. Практика развивающего обучения. – М.: Русская энциклопедия, 1998.
  3. Выготский Л.С. Педагогическая психология/под ред. В.В.Давыдова. – М.: Педагогика, 2001.
  4.  Гальперин П.Я. К исследованию интеллектуального развития ребенка. Статья в интернете.
  5. Гельфман Э.Г., Холодная М.А. Психодидактика школьного учебника. Интеллектуальное воспитание учащихся. – СПБб.: Питер, 2006.
  6. Гончарова Т.Д. Обучение на основе технологии «полного усвоения» . – М.: Дрофа, 2004.
  7. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. – М.: Интор, 1996.
  8. Концепция и программа проекта «Математика. Психология.  Интеллект». Математика 5-9 классы. . – Томск, 1999.
  9. Концепция модернизации российского образования на период до 2010г.
  10. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие. – М.: Народное образование, 1998.
  11. Советова Е.В. Эффективные образовательные технологии. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2007.
  12. Сухаревская Е.Ю. Технология интегрированного урока. – Ростов-на-Дону: Учитель, 2003.
  13. Танцоров С.Т. Групповая работа в развивающем образовании, 1997.
  14. Шаталов В.Ф. Точка опоры. – М.: Просвещение, 1989.
  15. Эльконин Д.Б. Психология игры. – М.: Владос, 1999.

Следующий: