При каких значениях P выражение 1/cos x + 1/sin x = 1/ P имеет решение?

при каких значениях P выражение 1/cos x + 1/sin x = 1/ P имеет решение?

  • 1. Метод оценки (границ) .

    Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, затем, используя свойства неравенств, отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Если есть возможность путем тождественных преобразований получить функцию, которая на всей области определения или на заранее заданном множестве является непрерывной и либо толбко возрастающей либо только убывающей, тогда используя свойства неравенств оценивают множество значений вновь полученной функции.

    Пример 1. Найдите множество значений функции y=5 — .

    Из определения квадратного корня следует, что 4 — x2 ³ 0, решая квадратичное неравенство получаем, что -2 £ x £ 2. разобьем промежуток [-2; 2] на два промежутка [-2: 0] и [0: 2]. Первому промежутку соответствует неравенство -2 £ x £ 0, а второму соответствует 0 £ x £ 2. На первом промежутке переменная х принимает неотрицательные значения, а на втором — положительные.

    Возведем в квадрат каждое из этих двойных неравенств, в результате получим 0 £ x2 £4.
    Умножим все три части неравенства на — 1, — 4 £ — x2 £0.
    Прибавим к трем частям неравенства 4 и получим 0 £ 4 — x2 £ 4.
    Пусть t = 4 — x2, где 0 £ t £4.

    Функция y = на указанном промежутке непрерывна и возрастает, поэтому свои наименьшее и наибольшее значения принимает на концах промежутка и, следовательно, 0 £ £ 2 тогда 0 £ £ 2. Прибавим к трем частя последнего двойного неравенств 5, умножив его предварительно на — 1, получим 3 £5 — £ 5.

    Множество значений функции y = 5 — является множество [3; 5].

    Пример 2. Найти множество значений функции y = 5 — 4sinx.

    Из определения синуса следует, -1 £ sinx £ 1. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

    -4 £ — 4sinx £ 4, (умножили все три части двойного неравенства на -4);

    1 £ 5 — 4sinx £ 9 (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);

    Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют. В данном случаее множество значений функции y =5 — 4sinx есть множество [1; 9].

    Пример 3. Найти множество значений функции y = sinx + cos x.

    Преобразуем выражение sinx + cos x =sinx +sin(p/2 — x)
    = 2sin((x + p/2 — x)/2)cos((x+p/2 + x)/2) = 2sin(p/4)cos(x+p/4) =
    = cos(x + p/4).

    Из определения косинуса следует -1 £ cosx £ 1 и из переодичности функции косинус следует неравенство -1 £ cos(x + p/4) £ 1, умножим все три части двойного неравенства на получим — £ cos( x+p/4)£

    Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции y = cos(x+p/4) есть множество [-; ].

    Пример 4. Найти множество значений функции y = 3sinx + 7cos x.

    Преобразуем выражение 3sinx + 7cos x. Заметим, что 32 + 72 = 9 + 49 = 58 =
    Умножим и разделим каждое слагаемое на
    3sinx + 7cos x = ( sinx + cosx).
    Так как < 1 и < 1. и ()2 + ( 2 = 1, то найдется такое число a, что cosa = и a = . Тогда 3sinx + 7cos x = (cosasinx + sina cosx) = sin(a + x). Из определения синуса следует, что при любом х справедливо неравенство -1 £ sinx £ 1 и, из периодичности этой функции, следует, что -1 £ sin(a + x) £ 1, тогда умножая все части двойного неравенства на, имеем — £ sin(a + x) £.

  • Область значений функции
    f1(x)=1/cosx (-бесконечность; 1]U[1;+бесконечность) ,
    для функции f2(x)=1/sinx также (-бесконечность; 1]U[1;+бесконечность) ,
    но для функции f3(x)=1/sinx (-бесконечность; +бесконечность) ,
    Значит решение будет при p из (-бесконечность; 0)U(0;+бесконечность) , так p<>0, потому что на 0 делить нельзя
  • Область значений функции f(x)=1/cosx [-1;0)U(0;1], функции g(x)=1/sinx также [-1;0)U(0;1]. Значит область значений выражения 1/P [-2;0)U(0;2] и следовательно выражение имеет решение при значениях P: [-0.5;0)U(0;0.5]

Предыдущий:

Следующий: