ВОПРОСЫ К МОДУЛЮ No 2

ВОПРОСЫ К МОДУЛЮ No 2

По дисциплине « МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В БИОЛОГИИ »

Понятие наиболее вероятного значения ( моды биномиального распределения).

Мо́да — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Случайная величина может не иметь моды. Иногда в совокупности встречается более чем одна мода (например: 2, 6, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10; мода = 6 и 9). В этом случае можно сказать, что совокупность мультимодальна. Из структурных средних величин только мода обладает таким уникальным свойством. Как правило мультимодальность указывает на то, что набор данных не подчиняется нормальному распределению.

10. Непрерывная случайная величина Х имеет Показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

Кривая распределения Р(Х) и график функции распределения приведены на рис. 8.13.

Рис. 8.13

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

; .

Вероятность попадания в интервал непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

.

11. Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.

13. Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Этот вывод можно получить из соотношения (1.24), согласно которому для дискретных случайных величин.

Если неограниченно уменьшать отрезок (a, b), полагая , то в пределе получим не вероятность попадания на участок, а вероятность того, что случайная величина X = a, т. е.

.

Если функция F(x) непрерывна в точке а, то этот предел равен нулю.

Непрерывными случайными величинами называют еще величины, функция распределения которых везде непрерывна. Таким образом, обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные (как определялось ранее), а и возможные события. Это появляется при рассмотрении экспериментов, не сводящихся к схеме случаев.

14. Как указывалось ранее, закон распределения для непрерывной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения.

Кроме этого, для задания закона распределения непрерывной случайной величины используется функция f(x) = F/(x), которая называется плотностью вероятности и которая является производной от функции распределения. Поэтому ее еще называют дифференциальной функцией, а функцию распределения называют интегральной функцией.

15.

Интеграл вероятности, название нескольких связанных друг с другом специальных функций. Интеграл

называют интегралом вероятности Гаусса. Для случайной величины X, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией s2, вероятность неравенства |X| £ x равна F(х/s). Наряду с этим название И. в. употребляют для интегралов

График И. в. и его производной см. на рис. Рассматриваемый и как функция комплексного переменного z, И. в. erf(z) есть целая функция от z.

18. Доверительным называется интервал, который с заданной надежностью покрывает оцениваемый параметр.

Для оценки математического ожидания случайной величины , распределенной по нормальному закону, при известном среднем квадратическом отклонении служит доверительный интервал

где - точность оценки, - объем выборки, - выборочное среднее, - аргумент функции Лапласа, при котором

19.3 сигмы

Если t=3, то

т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

20. Пусть  — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что . Тогда распределение случайной величины , где

называется распределением Стьюдента с степенями свободы. Пишут . Её распределение абсолютно непрерывно и имеет плотность

,

где  — гамма-функция Эйлера.

20. Гамма-функцияматематическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определение по Эйлеру

21. коэффициенты Стьюдента) — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики, таких как построение доверительных интервалов и проверка статистических гипотез. Пусть  — функция распределения Стьюдента с степенями свободы, и . Тогда -квантилью этого распределения называется число такое, что

.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (ошибка), обычно выражаемая в процентах (%):

Величину ϕ = 1/δ, обратную относительной погрешности называют точностью измерений.Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, можно решить и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определить необходимое число измерений в серии.

Предыдущий:

Следующий: