Вопросы к экзамену_Диффуры

Вопросы к экзамену по дисциплине

«Обыкновенные дифференциальные уравнения»

2 курс направления «ПМиИ»

Понятие дифференциального уравнения 1-го порядка. Поле направлений. Задача Коши. Общее решение.

Простейшие уравнения 1-го порядка. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Линейные уравнения. Уравнения Бернулли.

Уравнение в симметричной форме. Общий интеграл. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Теорема о существовании и единственности решения.

Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной и их решения.

Уравнения Лагранжа и Клеро.

Системы дифференциальных уравнений. Приведение к нормальной форме.

Определение задачи Коши, теорема существования и единственности решения для уравнения n-ого порядка.

Структура общего решения линейного уравнения n-ого порядка. Формула Лиувилля – Остроградского. Метод вариации произвольных постоянных.

Решение уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Комплекснозначные и действительные решения.

Отыскание частного решения неоднородного уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

Векторная запись нормальной системы. Теорема о существовании и единственности решения для нормальной системы. Интегральная кривая и траектория. Общее решение и общий интеграл.

Система линейных уравнений. Структура общего решения однородной системы.

Формула Лиувилля-Остроградского.

Структура общего решения неоднородной системы. Метод вариации постоянных.

Решение системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Случай простых корней.

Общее решение системы с постоянными коэффициентами.

Постановка краевой задачи.

Неоднородная краевая задача и ее решение.

Общие свойства решения систем. Теорема о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров.

Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметру.

Автономные системы. Фазовое пространство.

Теория устойчивости. Основные определения.

Функция Ляпунова. Теоремы об устойчивости.

Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами.

Исследование устойчивости на основе уравнения линейного приближения.

Линейное уравнение в частных производных первого порядка и его решение в случае n=2.

Решение линейного уравнения в частных производных первого порядка в общем случае.

Решение линейного уравнения для n=2 в частном случае.

Решение квазилинейного уравнения.

Предыдущий:

Следующий: