Математика в экономике

НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ

К числу е приводит и задача о непрерывном начислении процентов.

Формула сложных процентов имеет вид

где Q- сумма вклада по истечении п периодов; Q0 — первоначальный вклад, pпроцент начисления за период.

Если р – процент начисления и год разбит на п частей, то через t лет сумма депозита достигнет величины

где .

Если ввести новую переменную , то при .

.

Расчеты, выполненные по этой формуле, называют вычислениями по непрерывным процентам.

Данная формула выражает показательный (экспоненциальный) закон роста (при р > 0) или убывания (при р < 0). Непрерывное начисление процентов является весьма эффективным при анализе сложных финансовых проблем, в частности, при обосновании и выборе инвестиционных решений.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим производственную функцию зависимости производительности труда у от капиталовооруженности труда k: y = f(k),k >0.

Она характеризует зависимость выпуска продукции на одного работника у от величины капитала в расчете на одного работника k. Широко известная макроэкономическая производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид 0<α<1.

Данная функция определена и непрерывна на промежутке [0, + ∞). Этот факт не согласуется с реальной ситуацией. Рассмотрим капиталовооруженность k = K/L, где К — величина капитала, L — число занятых. Приращение k нельзя сделать сколь угодно, малым. Изменение капитала К также не может быть сколь угодно малым. Почти все единицы, встречающиеся в экономике, не допускают дробления.

Таким образом, у реальной производственной функции область определения и множество значений являются дискретными множествами. График реальной производственной функции изображен на рисунке 1.

Найти выражение для объема реализованной продукции

рис. 1

Функция Кобба — Дугласа представляет собой математическую модель реальной производственной функции, отражающую наиболее существенные характеристики изучаемого объекта. Она является непрерывной на промежутке [0, + ∞).

Ее график показан на рис. 2:

Найти выражение для объема реализованной продукции

рис. 2

Такая абстракция правомерна, когда речь идет о макроэкономической производственной функции. Если же рассматривать маленькую мастерскую, производящую штучный товар, то дискретную производственную функцию нельзя заменить непрерывной.

ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ЭКОНОМИКЕ

1. Предельная себестоимость

Рассмотрим зависимость С = f (Q) себестоимости С произведенной продукции от ее объема Q. Предельная себестоимость характеризует отношение прироста себестоимости С к приросту объема продукции Q при малом изменении объема продукции.

МС= .

2. Эластичность спроса

Пусть D = D(P) — функция спроса от цены товара Р. Под эластичностью спроса понимается относительное изменение спроса при изменении цены товара на 1 %:

При непрерывной зависимости D от Р удобно перейти к пределу при ∆Р0:

. (2.1)

Эластичность спроса можно представить в следующем виде: E(D)=P(lnD(P))’.

Из этого равенства следует, что эластичность спроса обладает свойствами логарифма.

Так как D(P) — убывающая функция, то D‘(P) < 0. Из формулы (2.1) следует, что E(D)<0.

Различают три вида спроса в зависимости от величины :

1) > 1 (E(D) < -1) - спрос эластичен;

2) = 1 (E(D) = -1) – спрос нейтрален;

3) < 1 (E(D) > -1) – спрос неэластичен.

3. Предельные (маржинальные) величины

Если y = f(х) — издержки производства при производстве х единиц продукции, то производная y / = f / 0) выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Аналогично определяются другие предельные (маржинальные) величины: предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность, предельная производительность и др.

Предельные величины характеризует не состояние (как средняя величина), а процесс, изменение экономического объекта.

Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) во времени или относительно другого исследуемого фактора.

ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА В ЭКОНОМИКЕ

Пусть функция z = f (t) описывает изменение производительности выпуска продукции с течением времени. Тогда объем продукции u (t1, t2), произведенной за промежуток времени , вычисляется по формуле .

Пример. Изменение производительности выпуска продукции с течением времени от начала внедрения нового технологического процесса задается функцией , где t — время, месяцы. Найти объем продукции, произведенной: а) за первый месяц; б) третий месяц; в) шестой месяц; г) последний месяц года, считая от начала внедрения рассматриваемого технологического процесса.

По формуле , получаем

Тогда вычисляя, имеем

а) и (0;1) = 4,95;

б) и (2;3) = 18,48;

в) и (5;6) = 27,22;

г) и (11;12) = 31,4.

Сравнивая между собой полученные результаты, можно заметить, что основная работа по внедрению данного технологического процесса приходится в основном на первую половину года.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ЭКОНОМИИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ

Дифференциальные уравнения находят применение в моделях экономической динамики, в которых отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.

Задача. Пусть y(t) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t.

В предложении постоянства цены р единицы продукции (условие ненасыщаемости рынка) имеем y’ = ky. (1.1)

Полученное дифференциальное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции где y0 = y (t0).

Уравнение (1.1) описывает также рост народонаселения (демографический процесс), динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид , где lпостоянная. (1.2)

Пример. Найти выражение для объема реализованной продукции у = y(t), если известно, что кривая спроса р(у) задается уравнением р(у)= 2 — у, l = 1, у(0) = 0,5.

Уравнение (1.2) в этом случае примет вид .

Или . Выполняя почленное интегрирование, получаем

, или , где .

Учитывая, что у(0) = 0,5, получаем, что С = -3. Выражая теперь у, окончательно имеем .

График данной функции схематично изображен на рис. 3. (В данном случае эластичность спроса задается функцией и условие Ер(у) = -1, определяющее положение точки перегиба на кривой, дает у = 1).

Найти выражение для объема реализованной продукции

рис. 3

Кривая, изображенная на рис. 3, называется логистической. Подобные кривые описывают процесс распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процесс размножения бактерий в ограниченной среде и др.




Предыдущий:

Следующий: